Ilustración
Ejemplo
Para ilustrar el sentido básico del método de elementos discretos considérese el caso de una viga simplemente apoyada. La curva de deflexión de acuerdo a los conocimientos de Resistencia de Materiales tiene un valor máximo igual a: δ=0.02088PL3/EI. Que también puede expresarse en la forma P=(48EI/L3)δ.
La curva de deflexión puede aproximarse por una sucesión de líneas rectas. Ello conduce a la simulación de un sistema de elementos discretos cuyos elementos rígidos están unidos por una rótula elástica. Esto es, el criterio de aproximación es hacia su comportamiento mecánico (de deformación en este caso), y se mantiene la continuidad del sistema a través de la rótula (no se produce rotura).
Caso de dos elementos
El sistema está conformado por dos elementos rígidos unidos por una rótula elástica según se ilustra en la figura. Cada barra ha girado ψ respecto a la horizontal alrededor de la rótula hasta alcanzar la deflexión máxima δ. A la rótula se asocia un resorte rotacional de resistencia C.
Para el caso de los dos elementos, la rigidez rotacional resulta C=2EI/L. El ángulo ψ se expresa por la relación simplificada: ψ=2δ/L.
La energía potencial V, como expresión de la diferencia entre la energía interna y la externa, resulta para este sistema:
V=½C(2ψ)2-Pδ. O bien: V=2Cψ2-PψL/2.
En el equilibrio ∂V/∂ψ=0 conduce a ψ=PL/8C. Reemplazando ψ y C en función de δ se tiene: δ=0.03125PL3/EI. O bien en la forma estándar: P=(32EI/L3)δ.
Obsérvese la diferencia entre el valor exacto 0.02088 y el que resulta de esta aproximación discreta con dos elementos, de 0.03125.
Caso de cuatro elementos
Aquí se incrementa el número de elementos rígidos a cuatro de igual longitud L/4, con las respectivas tres rótulas elásticas. Por razones de simetría se considera la misma rigidez rotacional, que en este caso es C=4EI/L.
Las relaciones simplificadas de ángulos con deflexiones, conducen a los siguientes resultados: ψ1=4δ1/L, ψ2=4(δ2-δ1)/L, ψ2=ψ1-ψ3.
La energía potencial V se puede deducir directamente de la figura, y se expresa como:
V=2(½Cψ32)+½C(2ψ2)2-Pδ2. Reemplazando C y δ2 se obtiene la siguiente expresión:
V=Cψ32+2Cψ22-P(L/4)(2ψ2+ψ3)
En este caso la condición de equilibrio se obtiene con: ∂V/∂ψ2=∂V/∂ψ3=0. Lo cual conduce a: (32EI/L2)ψ2=P. Y a: (32EI/L2)ψ3=P. O bien en forma estándar matricial:
Siendo: δ2=(L/4)(2ψ2+ψ3), se obtiene: (128EI/3L3) δ2=P. O bien: δ2=0.0234375PL3/EI.
Este valor constituye una mejor aproximación al valor exacto 0.02088. E implica que agregando mayor número de elementos se tenderá a un valor más preciso.