Notas sobre el método de elementos finitos
Apuntes sobre teoría de elasticidad.
Contenido
Referencia. Alcances. Caso del triángulo. Relación con las deformaciones unitarias. Componentes de esfuerzos. Trabajo virtual. Ejemplo. Otros tipos de elementos y nodos. Mejorando la precisión.
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Alcances
Se presenta inicialmente el método de elementos finitos en su desarrollo básico tomando el caso de un triángulo como representación del elemento, lo cual facilita la presentación. Al dividirse el cuerpo a ser estudiado en zonas o regiones triangulares, se reduce el análisis a cada una de ellas en una forma de discretización espacial. Se mantiene siempre la continuidad del cuerpo, por lo que el método no es la fractura aparente en triángulos que después se unen. Se trata de reducir el análisis a una forma y espacio más fácil de estudiar. También la presentación incluye un ejemplo desarrollado manualmente, esto es, evitando el uso de un software...
Caso del triángulo
Un punto genérico P(x,y) al interior del triángulo. Los nodos i, j, m están designados en sentido contrario a las agujas del reloj (orden que es recomendable mantener). Los pares (u, fx) (v, fy) asociados a cada nodo para representar los componentes (horizontales y verticales) de los desplazamientos y las fuerzas...
Relación con las deformaciones unitarias
De acuerdo a la teoría de Elasticidad lineal de pequeñas deformaciones y a las expresiones polinómicas aceptadas por el método de elementos finitos, para el punto general P se obtiene la siguiente relación...
Componentes de esfuerzos
De acuerdo a las relaciones de Elasticidad lineal y pequeñas deformaciones...Trabajo virtual
Considerando las fuerzas nodales {fe} (propiamente, fuerzas nodales estáticamente equivalentes), para un desplazamiento virtual {δev}, el trabajo externo en el elemento es...Ejemplo
Datos generales
Se trata de una placa de sección cuadrada (150 mm de lado) que es sometida a una carga transversal uniforme...
Otros tipos de elementos y nodos
La forma triangular presentada, es la más simple en el método de elementos finitos. Tiene como limitantes tanto el reconocer como constantes las deformaciones unitarias al interior del mismo, como ser difícil de ajustar ante una geometría curva en las fronteras del sólido en estudio. Una alternativa es diseñar una malla más pequeña. Pero el método reconoce otras, tanto en forma, en número de nodos, como en manejo de los bordes...
Mejorando la
precisión
Para mejorar la
precisión del cálculo uno de los mecanismos es disminuir el tamaño del
elemento finito haciendo más densa la malla. Sin embargo, un buen
criterio orientará a incrementar esta densidad en las zonas en donde se
presuma una mayor variación de los desplazamientos. Regresando al
ejemplo, esta zona está cerca del punto de carga.
Uso de cálculo de variaciones.